猜想与试验

By | 2016-09-08

写在前面

想是建立在观察、分析、联想、归纳基础上的一种主观的、不充分的似真推理;是观察能力、概况能力、联想能力、创新能力的综合体现。猜想的水平,最能反映一个人思维品质的高低。

  • 观察是猜想的血液----贯穿于整个猜想过程之中
  • 分析是猜想的灵魂----提出猜想的前提和基础
  • 实践是检验猜想的试金石----不能解决问题的猜想毫无意义

1. 相似联想

也称为类比联想,指由某一问题的条件和线索,就其形态和性质引起与其相似的已有知识和解题经验的联想。

类比的基本方式

  • 与熟悉的问题类比
    • 与熟悉的问题类比的前提是对事物深入、透彻的分析
    • 一般步骤
      1. 分析
      2. 联想
      3. 比较
      4. 猜想
  • 与特殊的问题类比
    • 由于特殊化后的问题仍然保留了原问题的大部分特征、性质,所以根据其研究成果进行猜想相对于其他类要容易
    • 一般步骤
      1. 观察
      2. 特殊化
      3. 分析特殊问题
      4. 类比

无论是与熟悉的问题类比,还是与特殊的问题类比,本质上都是“化归”。

2. 归纳联想

一般步骤

  1. 列举
  2. 观察
  3. 猜想
  4. 证明

注意点

  • 由归纳过程得出的猜想不一定正确,必须经过严格的证明。证明的方法大多是数学归纳法,这是由归纳猜想本身的特性决定的。
  • 归纳联想不一定直接猜想出算法,但猜想的结论却对解题思路有着间接的导向作用。

3. 从数与形的结合上联想

抽象的数结构直观的形结构结合起来想象。

以形助数

  1. 观察
  2. 图形化
  3. 类比
  4. 迁移
  5. 猜想与试验

以数助形

  1. 观察
  2. 展开
  3. 类比
  4. 迁移
  5. 猜想与试验

总体上

注:不同的人有不同的知识结构和解题经验,对同一题、同一算法难度系数的感觉是因人而异的。

  • 使数量关系的问题借助于几何图形直观而形象化
  • 使图形问题借助于数量关系而本质化
  • 抽象思维 ⇔ 形象思维
  • 抽象概念 ⇔ 具体形象

4. “回到起点”重新联想

“答案意识过强”倾向:对答案进行快速地猜想,迅速沿那条道兴高采烈地出发,却并没有在意先前猜想的正确性、全面性。

一般步骤

  1. 明确“退”的方向
  2. “回到起点”
  3. 猜想与实验

总体上

  • 首先找到冗余,进行局部改进(量变)
  • 展开改进前后的问题类比,汲取相关数据结构和算法的优点,最终算法的整体效率朝最优化方向(质变)

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